Beauté mathématique

Il y avait un peu de demande suite à l'énigme intitulée «l'ainée est blonde», je vous remets donc en ligne un problème mathématique. Cette énigme aussi est particulière par rapport à beaucoup d'autres, car elle évalue surtout la possibilité de chacun à trouver la voie la plus simple. C'est pour cela que je l'aime bien.

La voici donc :

Deux trains se rapprochent l'un de l'autre. L'un va à la vitesse de 40km/h, l'autre à la vitesse de 60km/h. Ils sont distants de 300km. Une hirondelle, qui vole à 200km/h, part du premier train, rejoint le second, puis retour au premier, pour aller encore vers le second, et cela jusqu'au croisement des deux trains. On demande simplement quelle est la distance qu'aura parcourue l'hirondelle au moment du croisement des trains.

Puisqu'on est dans les maths, voici une preuve mathématique du théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore a une grosse particularité, puisque, quel que soit votre cursus scolaire, la plupart du temps, on vous l'a appris sans même vous le démontrer, contrairement à la plupart des autres théorèmes. Pourquoi ? Parce que la preuve géométrique est très compliquée, et que c'est un outil qu'on apprend très tôt. J'avais retrouvé en seconde le texte originel de sa démonstration, rédigé en langage mathématique de l'époque, par Euclide, et basé sur le dessin ci-contre. Bonjour le bordel. Par chance, pour vous, voici le texte, retrouvé sur le net:

Dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés contenant l'angle droit.
Soit le triangle rectangle ABC ayant l'angle sous BAC droit. Je dis que le carré sur BC est égal aux carrés sur BA, AC.
En effet d'une part que le carré BDEC soit décrit sur BC, d'autre part les carrés GB, HC sur
BA, AC (Prop. 46) et que par le point A, soit menée AL, parallèle à l'une quelconque des BD, CE (Prop. 31). Et que AD, FC soient jointes (Dem. 1).
Puisque chacun des angles sous BAC, BAG est droit, alors relativement à une certaine droite: BA, et en un point qui est sur elle: A, les deux droites AC, AG, non placées du même côté, font des angles adjacents égaux à deux droits. Donc CA est en alignement avec AG (Prop. 14). Alors pour la même raison BA est aussi en alignement avec AH.
Et puisque l'angle sous DBC est égal à celui sous FBA car chacun est droit (Dem. 4), que celui sous ABC soit ajouté de part et d'autre: celui sous DBA tout entier est donc égal à celui sous FBC tout entier (N.C. 2).
Et puisque, d'une part DB est égale à BC, d'autre part FB à BA, alors les deux DB, BA sont égales aux deux FB, BC2, chacune à chacune et l'angle sous DBA est égal à celui sous FBC. La base AD {est} donc égale à la base FC, et le triangle ABD égal au triangle FBC (Prop. 4).
Et le parallélogramme BL {est} double du triangle ABD, car ils ont la même base BD, et sont dans les mêmes parallèles: BD, AL (Prop. 41). D'autre part le carré GB est double du triangle FBC, car, de nouveau, ils ont la même base FB, et sont dans les mêmes parallèles: FB, GC. {Or les doubles de choses égales sont égaux entre eux}3. Donc le parallélogramme BL est égal au carré GB (N.C. 1). Alors semblablement, AE et BK étant jointes, il sera démontré aussi que le parallélogramme CL est égal au carré HC. Donc le carré BDEC tout entier est égal aux deux carrés GB, HC, et, d'une part BDEC est le carré qui a été décrit sur BC, d'autre part GB et HC sont les carrés sur BA, AC. Donc le carré sur le côté BC est égal aux carrés sur les côtés BA, AC.
Donc, dans les triangles rectangles, le carré sur le côté sous-tendant l'angle droit est égal aux carrés sur les côtés contenant l'{angle} droit. Ce qu'il fallait démontrer.

Une preuve très sympa, puisqu'une démonstration algébrique passe pas la géométrie, en interprétant les distances mises au carrés par un carré géométrique. Malin, non?!

Mais j'ai trouvé sur Wikipédia une image, qui, à elle seule, explique tout, sans la moindre ligne de texte ! C'est tellement élégant que j'ai tout de suite pensé à faire un article avec ça.

L'image, trouvée sur wikipédia, est en Licence libre:

Voilà, je me doute bien que tout le monde n'est pas arrivé en bas de l'article… C'est comme ça, il y en a pour tout le monde, et je me doute bien qu'une majorité n'a pas grand chose à faire de la beauté mathématique de certaines démonstrations…

Je vous mets ici la solution des trains et des hirondelles: La plupart des gens calcule chaque distance que parcours l'hirondelle pour chaque aller, et chaque retour. Les distances sont de plus en plus petite, on tend vers l'infini, et les trains ne se croisent jamais.

Alors que si l'on calcule combien de temps il faudra aux trains pour se croiser, il est ensuite très simple, puisque V=D/T, de savoir quelle distance l'hirondelle parcourera dans ce temps là!

Autre énigme: L'ainée est blonde
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